數學家分享10個節日腦筋急轉彎的解決方案

以下是對節日數學測驗定于12月23日。希望你喜歡。

謎題1：你會獲得九枚外觀一模一樣的金幣。你被告知其中一枚是假幣，這枚硬幣比真幣輕。用一套老式天平秤，你需要多少次稱重才能判斷哪枚是假幣？

解決方案：你只需兩次稱重即可完成：

（1）將九枚硬幣分為三組，每組三枚，并從其中兩枚中選出相互稱重。如果其中一組比另一組更輕，那么偽幣就是這三種硬幣中的一種。如果兩組硬幣重量相同，那么假幣就在三枚未稱重的硬幣中。

（2）現在取有假幣的一組，稱重其中兩枚硬幣。如果其中一個較淺，那就是假的。如果重量相同，那么假幣就是第三枚。

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謎題2：你被傳送回過去，幫忙做圣誕晚餐。你的任務是烤圣誕派，但你只有兩個定時器：一個正好四分鐘，一個正好七分鐘。你怎么能準確計時十分鐘？

解決方案：這個謎題有多種答案，但假設廚師想讓你盡快做好這個派，以下是做法：

- 同時啟動兩個計時器。

- 四分鐘計時器結束后，七分鐘計時器還有三分鐘。這時，把派放進烤箱。

- 當七分鐘計時器剩余的三分鐘結束后，將七分鐘計時器翻轉。

- 讓七分鐘的計時器完整播放，然后立刻把派拿出來。派在烤箱里正好放了十分鐘。

謎題3：你現在負責分配熱紅酒，目前裝在兩個滿滿的十升桶里。廚師遞給你一瓶五升裝的瓶子和一瓶四升裝的，都是空的。他命令你每瓶裝滿三升葡萄酒，絕不浪費一滴。你怎么能這樣？

解決方案：這里有一個11步的解決方案（見下表），記錄每個桶和每個瓶子中的熱紅酒數量。B1和B2是兩個十升桶;B5和B4分別是5升和4升瓶裝。

注：你可能找到了比我更快的解決方案，但這是我能想到的！

謎題4：假設圣誕節有100天。在n-第一天，你會收到￡n作為禮物，首日1英鎊，最后一天100英鎊不等。你能計算出你得到的總金額嗎？而不必費力地把所有100個數字加在一起？

解決方案：當數學老師向卡爾·弗里德里希·高斯提出這個問題時，這位初露頭角的數學家據說做了如下計算：

設 s 為前 100 位數字的和。那么我們可以寫：s = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100

但我們也可以反過來寫：s = 100 + 99 + 98 + ... + 4 + 3 + 2 + 1

如果我們現在逐項垂直添加這兩個方程，我們看到左邊是 s + s = 2s。

右側，再次縱向相加，每兩項的和總是相同，即101（1 + 100,2 + 99，依此類推）。總共有100項——所以右側總和的簡單計算是100 * 101 = 10,100。

因此：2s = 10,100，s = 5,050。你總共獲得的獎金是5,050英鎊。

謎題5：這里有一串圣誕節的數字。序列中的前六個分別是：9、11、10、12、9、5 ......（注：在某些版本中，第五個數字是11。）這個序列中的下一個數字是什么？

解決方案：這個順序是圣誕節12天內連續禮物中字母的數量。所以答案是5，天鵝。以下是完整名單：

鷓鴣（9個）、斑鳩（11個）、法國母雞（10個）、鳴叫鳥（12個）、金戒指（9個，唱“golden”的11個）、鵝（5個）、天鵝（5個）、女仆（5個）、女士（6個）、領主（5個）、風笛手（6個）、鼓手（8個）。

注意：這看似非數學難題，但數學——更廣義上，批判性和創造性思維——部分依賴于發現起初看似牽強的模式。二戰期間，盟軍破譯總部布萊切利園的招募部分基于解決神秘填字游戲.

謎題6：以下100條陳述中，哪一條是唯一正確的？

• 這份清單中只有一句是錯誤的。
• 這份清單中只有兩句是錯誤的......依此類推，直到：
• 這份清單中有99條是錯誤的。
• 這份清單中有正好100條是假的。

解決方案：這份清單中只有第99條是真的。由于有100個命題，且第n個命題斷言列表中恰好n個命題為假，這只能在n = 99時成立。

謎題7：你和你的朋友亞瑟、鮑勃戴著紅色或綠色的圣誕帽。沒人能看到自己的帽子，但你們都能看到另外兩個。亞瑟和鮑勃的帽子都是紅色的。

你們都被告知至少有一頂帽子是紅色的。亞瑟說：“我不知道我的帽子是什么顏色。”然后鮑勃說：“我不知道我的帽子是什么顏色。”假設你的朋友們邏輯無懈可擊，你能推斷出你的圣誕帽是什么顏色嗎？

解決方案：你的帽子一定是紅色的。如果你的帽子是綠色的，那么亞瑟和鮑勃都會看到一頂綠色和一頂紅色帽子。所以當亞瑟說他不知道帽子的顏色時，鮑勃立刻推斷出他的帽子是紅色的。但因為鮑勃不知道自己帽子的顏色，他一定看到了兩頂紅帽子，所以你可以推斷你的帽子是紅色的。

謎題8：你的圣誕樹下有三個箱子。一個裝有兩個小禮物，一個裝兩塊煤，一個裝著一個小禮物和一塊煤。每個盒子上都有標簽顯示里面的內容——但標簽混淆了，所以目前每個盒子上都有錯了標簽。

你被告知，你可以伸手從一個盒子里取出一個物品。你應該選擇哪個盒子，才能切換標簽，使每個標簽都能正確對應盒子的內容？

解決方案：由于所有盒子的標簽都不對，你知道如果你打開標注為一個小禮物和一塊煤炭的盒子，你會看到兩個小禮物或兩塊煤炭。

假設你打開它，看到兩個小禮物。然后必須在這個盒子上貼上兩個小禮物的標簽。而且你也知道每個盒子最初標簽都不對，那么一份小禮物和一塊煤炭的標簽應該貼在現在標有兩塊煤炭的盒子上。最后，這兩片煤炭標簽屬于原本標有兩份小禮物的盒子。

謎題9：廚房里有一升的橙汁和一升的蘋果汁。杰克往蘋果汁瓶里倒一湯匙橙汁，然后攪拌均勻。現在吉爾從那瓶蘋果汁瓶里取了一湯匙液體，放回橙汁瓶里。現在蘋果汁瓶里的橙汁更多了，還是橙汁瓶里的蘋果汁更多了？

解決方案：它們是一樣的。這是一個很好的“不變性”例子——這是數學中經常出現的術語。

經過大量添加果汁和攪拌，蘋果汁瓶中的橙汁量必須取代了原本蘋果汁瓶中的蘋果汁，因為每瓶液體的量仍然是一升（保持不變）。

這個解釋初讀時可能會讓人覺得不滿意。但利用不變性的能力可以讓你推斷出這些數值必須相同，而無需計算。

謎題10：在圣誕老人的家鄉，所有紙幣一面印有圣誕老人或圣誕夫人的畫像，另一面印有禮物或馴鹿的圖案。一位年輕的小精靈在一張桌子上放置了四個便條，顯示以下按順序排列的圖片：

圣誕老人 | 圣誕夫人 | 現狀 |馴鹿現在，一位年長且更睿智的小精靈告訴他：“如果圣誕老人在紙條的一面，禮物就一定在另一面。”年輕精靈必須翻閱哪些筆記來確認年長精靈所說的是否屬實？

解決方案：首先，年輕的小精靈應該翻出寫有圣誕老人的鈔票。如果對面沒有禮物，那年長的精靈就是在撒謊。接下來，年輕的小精靈應翻出馴鹿鈔票，確認圣誕老人不在另一面。同樣，如果圣誕老人在另一邊，年長的精靈就是在撒謊。

可能會很想把現在的鈔票交出來。但年長的小精靈只說“如果是圣誕老人，那就在場”，這并不意味著“如果在，那就圣誕老人”。所以，無論圣誕老人還是圣誕夫人在這張鈔票的另一面——也無關緊要，因為年長的小精靈對那些鈔票沒有提起。

額外謎題解法

圣誕老人乘坐雪橇從格陵蘭以每小時30英里的速度前往北極，然后立即以每小時40英里的速度從北極返回格陵蘭。圣誕老人整個旅程的平均速度是多少？

解決方案：這個謎題或許是心理學家的一個例子丹尼爾·卡尼曼叫做《思考快與慢》。我們快速思考的系統可能會說“取平均值”，所以我們會猜測35英里每小時。這是合理的答案，但錯誤。

我們那套較慢的思維系統——使用起來費力，需要代數和批判性思維等工具——在這里是必需的。首先，讓我們設置一些變量：

- 設d為格陵蘭到北極點的距離。

- 設t?為出發旅程所耗時間。

- 設 t? 為返回時間。

使用標準公式“速度=距離除以時間”，我們可以說：

30 = d/t?，40 = d/t?

重新排列這些方程，我們還知道t? = d/30，t? = d/40

因為圣誕老人往返的距離相同，他的總行程是2D。而整個旅程的平均速度就是這個總距離除以總時間：2d/（t? + t?）

結合以上所有方法，我們可以說圣誕老人旅程的平均速度是2d/（d/30 + d/40）

現在，（d/30 + d/40） = （4d/120 + 3d/120） = 7d/120

所以圣誕老人的平均速度 = 2d / （7d/120） = 240/7 = 34.3

在這個方程中，'d '相抵消。這意味著我們可以在不知道距離或圣誕老人旅程所需時間的情況下，推算出旅程的平均速度。這就是代數的力量：它讓你能夠使用和作量，即使你不知道這些量是什么，也能把它們當作占位符。

答案是圣誕老人的平均速度是每小時34.3英里。

尼爾·桑德斯數學科學系高級講師，倫敦大學圣喬治市

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