大多數人甚至從未聽說過的有趣研究領域是什么？

逆向數學。

如果您以前沒有聽說過這個研究領域，請稍作停頓思考它的含義。你認為逆向數學家關心什么？

只是為了稍微設置一下，這里是“前向數學”：你有一些公理，這是你正在研究的基本真理的花哨詞。公理的一個例子是“如果[數學]A[/數學]是一個集合并且[數學]B[/數學]是一個集合，那么就有一個集合[數學]C[/數學]由以下元素組成[數學]A[/數學]和[數學]B[/數學]沒有別的。”對于那些聽說過集合的“并集”這個詞的人，這個公理只是說你可以取集合的并集。或者更簡單地說，工會存在。

美好的。

從這樣的公理，“前向數學”是從你開始的公理中推導出事物——希望是有趣或有用的事物——的任務。您推導出三角形中的角和為 180 度，或者您推導出每個集合都可以按某種線性順序排列，等等。這些結論稱為定理。

在進入逆向數學之前，我們需要對公理做一個簡短的題外話。首先，沒有“一組真正的”公理。我可以寫下來我的公理，看看數學在什么方面展開我的宇宙，你可以寫下您的公理，看看數學在什么方面展開您的宇宙。這些可能是等價的（就它們具有相同的定理而言），也可能不是。

事實上，這可能是一個公理我的系統實際上是一個定理您的系統。例如，我可能有一個公理“每個集合都有一個綠色元素”。你可能有一個公理“每組 100 個或更少的元素都有一個綠色元素。”在我的公理系統中，您的公理是非常簡單的定理。但我的公理不一定是你的定理。

當這種情況發生時，他們會說一個公理比另一個公理“弱”或“強”。弱公理是強公理的結果。

那么，什么是逆向數學？它的想法是開始一個定理，然后試圖找出你真正需要得到那個定理的公理。這意味著，你對最弱的給你定理的一組公理。

如果您不太了解數學，這聽起來可能毫無意義。但如果你在數學道路上走得有點遠，你可能聽說過巴拿赫-塔斯基悖論.沒有進入它所說的，它是（a）所以違反直覺，他們稱之為“悖論”，而不是定理；(b) 依賴于稱為選擇公理的東西。

我不想深入討論選擇公理，但大致上說的是，如果你有一個（不一定是有限的）集合（不一定是有限的）集合，你可以從每個集合中選擇一個元素.從表面上看，它可能看起來沒有那么有爭議，但它是一個顯著強公理。如此強大，它為我們提供了我們直覺上認為是矛盾的定理。

所以逆向數學的一個“目標”就是這樣的公理。我們可以在多大程度上削弱這個公理，并且仍然得到像 Banach-Tarski 悖論這樣的定理？例如，如果我們只允許從不必要的有限集合的有限集合中挑選元素，那么 BT 悖論是否仍然是一個定理？或者來自“可數無限”集合的“可數無限”集合中的元素怎么樣？（對于那些不知道的人，事實證明無限集有不同大小，“可數無限”是最小的。）

在使用“逆向數學”一詞之前，這些問題是數學家感興趣的問題，但它們作為該研究領域的模型問題。碰巧，問題像這對于許多定理和許多公理系統都很有趣。

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